Méthodes Numériques Fondamentales

1. Résolution d'équations non-linéaires

• Méthode de dichotomie
• Méthode de Newton-Raphson
• Méthode de la sécante
• Méthode du point fixe

2. Interpolation polynomiale

• Polynômes de Lagrange
• Différences divisées (Newton)
• Splines cubiques

3. Intégration numérique

• Méthodes des rectangles
• Méthode des trapèzes
• Méthode de Simpson
• Quadrature de Gauss

Techniques Numériques Avancées

1. Résolution des systèmes linéaires

• Méthodes directes (Gauss, LU, Cholesky)
• Méthodes itératives (Jacobi, Gauss-Seidel, gradient conjugué)

2. Résolution des EDO

• Méthodes à un pas (Euler, Runge-Kutta)
• Méthodes multipas (Adams-Bashforth, Adams-Moulton)

3. Optimisation numérique

• Méthodes de gradient
• Algorithmes génétiques
• Méthodes de Newton en optimisation

Astuces et Conseils Pratiques

1. Choix des méthodes

• Préférer Newton pour les fonctions dérivables
• Utiliser dichotomie pour les fonctions monotones
• Pour les intégrales, Simpson est souvent un bon compromis

2. Contrôle des erreurs

• Toujours estimer l'erreur a posteriori
• Adapter le pas en fonction de la précision souhaitée
• Vérifier la stabilité numérique des algorithmes

3. Optimisation des calculs

• Préférer les méthodes itératives pour les grands systèmes
• Utiliser la structure creuse des matrices
• Vectoriser les calculs quand possible

4. Implémentation

• Toujours tester sur des cas connus
• Vérifier les conditions d'application des théorèmes
• Documenter les choix numériques (tolérances, critères d'arrêt)

Applications Pratiques

1. En ingénierie

• Simulations mécaniques (éléments finis)
• Calcul de structures
• Dynamique des fluides numérique

2. En finance

• Pricing d'options
• Gestion de portefeuille
• Calculs de risques

3. En intelligence artificielle

• Apprentissage profond (backpropagation)
• Optimisation des réseaux de neurones
• Traitement du signal

4. En sciences physiques

• Simulations quantiques
• Modélisation climatique
• Astrophysique numérique