Réduction des Endomorphismes et Applications

Techniques de Réduction

1. Diagonalisation

Conditions :

• χ_f scindé
• ∀λ, dim E_λ = multiplicité de λ

Résultat : Mat_B(f) = diag(λ₁,...,λ_n)

2. Trigonalisation

Condition : χ_f scindé sur K

Résultat : Matrice triangulaire supérieure

3. Décomposition de Dunford

f = d + n avec d diagonalisable, n nilpotent et dn = nd

Applications de la Réduction

1. Calcul de puissances

Si A = PDP^-1, alors Aⁿ = PDⁿP^-1

2. Exponentielle matricielle

e^A = P diag(e^λ₁,...,e^λ_n) P^-1

3. Systèmes différentiels

Solution de X' = AX : X(t) = e^tAX₀

4. Suites récurrentes

Résolution de U_n+1 = AU_n

Astuces pour la Réduction

1. Recherche des valeurs propres

• Calculer χ_A(X) = det(A - XI)
• Chercher les racines du polynôme

2. Recherche des vecteurs propres

Pour chaque λ, résoudre (A - λI)X = 0

3. Diagonalisabilité

Vérifier :

• χ_A scindé
• Σ dim E_λ = n

4. Matrice de passage

Former P avec les vecteurs propres en colonnes